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量子基础

2019-08-12

最近打算入坑量子密码学,摸了大半个暑假的🐟,什么也没干。记点笔记,主要是量子相关的基础知识,持续更新。

量子基础

量子

最开始,量子即能量子,是能量的基本单位,即$\varepsilon =h\nu$,能量只能是$h\nu$的整数倍

现代物理将微观世界中将所有的微观粒子(如光子、电子、原子等)统称为量子。

量子信息

量子信息的载体可以是任意两态的微观粒子系统。

  • 量子态相干性:微观系统中量子间相互干涉的现象成为量子信息诸多不可思议特性的重要物理基础
  • 量子态纠缠性:N(大于 1)个量子在特定的(温度、磁场)环境下可以处于较稳定的量子纠缠状态,对其中某个系统的局域操作会影响到其余子系统的状态
  • 量子态叠加性:量子状态可以叠加,因此量子信息也可以叠加, 所以可以同时输入或操作 N 个量子比特的叠加态
  • 量子不可克隆定理:量子力学的线性特性确保对任意量子态无法实现精确的复制。量子不可克隆定理和测不准原理构成量子密码技术的物理基础。

量子比特

处于两种极化状态的叠加态粒子系统就是量子比特。

一个量子比特的状态是一个二维复数空间的向量,用它的两个极化状态(本征态)|0>和|1>来对应经典状态的0和1。

用狄拉克标记<|和|>表示量子态,bra和ket分别用来称呼括号的左半和右半,中文译作左矢和右矢。

一个量子比特能够处在既不是|0>也不是|1>的状态上,而是处于|0>和|1>的叠加态上。

$|\psi \rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$(这里的$\alpha$和$\beta$为任意复数。并且满足归一化要求:

具体意义为:如果我们对$|\psi \rangle$做测量,那么得到$|0\rangle$和$|1\rangle$的概率分别为$|\alpha|^2$和$|\beta|^2$

由于$\alpha$和$\beta$都满足归一化要求,所以可以设$\alpha=cos\;\theta\;e^{i\delta}$,$\beta=sin\;\theta\;e^{i(\delta+\phi)}$

得到$|\psi\rangle=cos\;\theta\;e^{i\delta}\;|0\rangle+sin\;\theta\;e^{i(\delta+\phi)}\;|1\rangle=e^{i\delta}(cos\;\theta\;|0\rangle+sin\;\theta\;e^{i\phi}\;|1\rangle)$

将$e^{i\delta}$称作共同相位,因为对|0>和对|1>都一样影响,在实验上测不出来,所以可以舍弃不看,而$e^{i\phi}$则是相对相位,有影响,得到:

$|\psi\rangle=cos\;\theta\;|0\rangle+sin\;\theta\;e^{i\phi}\;|1\rangle$

由于$cos\;\theta$和$sin\;\theta$表示的是复数$\alpha$和$\beta$的长度(不懂)所以二者都应该是非负的实数,故$0\leqslant \theta\leqslant \frac{\pi}{2}$,$0\leqslant \phi\leqslant 2\pi$

2$\theta$和$\phi$的所有分布在三维空间$\mathbb{R}^3$中画出来,就能得到一个球面,即布洛赫球面

则|0>是$z_+=(0, 0, 1)$,|1>是$z_-=(0, 0, -1)$

又由于习惯做法,有的学者这样表示:

所以$0\leqslant \theta\leqslant \pi$,$0\leqslant \phi\leqslant 2\pi$

故定义为$|\psi>=cos\;\frac{\theta}{2}\;|0\rangle+sin\;\frac{\theta}{2}e^{i\phi}\;|1\rangle$

这样方便用球坐标$(r_0, \theta, \phi)$来表示

复数

把形如z=a+bi的数称为复数

定义有序对z=(a, b),并规定有序对之间有运算+、$\times$,则对于$z_1=(a, b),\;z_2=(c, d)$来说

$z_1+z_2=(a+c,\;b+d)$

$z_1\times z_2=(ac-bd,\;bc+ad)$

记(0, 1)=i, 则$i\times i=(0, 1)\times(0, 1)=(-1, 0)=-1$这样就解决了虚数单位i的存在问题

复数的模

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

共轭复数

实部相等虚部相反的两个复数互为共轭复数

$(x,\;y)\times(x,\;-y)=x^2+y^2$

复数的辐角

复数可以表示为$z=r\times(cos\;\theta+i\;sin\;\theta)$,r是z的模的形式

指数形式为$z=r(cos\;\theta+i\;sin\;\theta)=re^{i\theta}$

其中$e^{i\theta}=cos\;\theta+i\;sin\;\theta$是欧拉公式,可以用泰勒级数证明

线性代数相关

一个向量空间的生成集合是一个向量集合$\{|v_1\rangle, \Lambda , |v_n\rangle\}$

该向量空间中的任意向量|v>都能写成这个生成集合的线性组合

$|v\rangle=\Sigma a_i|v_i\rangle $

比如:

向量空间$C^2$的生成集合是:

则$C^2$中的任意向量

能够写成$|v_1\rangle$和$|v_2\rangle$的线性组合$|v\rangle=a_1|v_1\rangle+a_2|v_2\rangle$,故称$|v_1\rangle$和$|v_2\rangle$生成了向量空间$C^2$

一些表示:

  • $\langle\psi|$表示$|\psi\rangle$的对偶矢量
  • $\langle\varphi|\psi\rangle$表示矢量$|\varphi\rangle$和$|\psi\rangle$的内积
  • $|\varphi\rangle|\psi\rangle$表示两个矢量张量积的简写

向量张量乘积的矩阵表示:

量子比特的运算和线性代数里的不一样,是新定义的运算:

显然,这种乘法运算不满足交换律,满足结合律,满足对加法的分配律

量子叠加态与纠缠态

量子的叠加性源于微观粒子波粒二象性(微观粒子有时会显示出波动性(这时粒子性较不显著),有时又会显示出粒子性(这时波动性较不显著),在不同条件下分别表现出波动或粒子的性质。)的波动相干叠加性。

量子的纠缠态是指两个或多个量子系统之间的非定域、非经典的关联,是量子系统内各子系统或各自由度之间关联的力学属性。

量子态的纠缠反映在概率幅不相乘上。概率幅的叠加表现出量子力学特有的干涉现象,概率幅的纠缠将对量子干涉产生重要的影响。

量子纠缠态:无法将一个量子叠加状态写成两个量子比特的乘积,这种叠加状态就叫量子纠缠状态

比如:

可以写成:

但比如:

就无法写成两个量子比特的乘积,这种叠加态就叫量子的纠缠状态。

不同的量子位会因为纠缠而彼此影响,使得一个量子的状态将同与之发生纠缠的另一个量子的状态相关。

比如对于十进制的5和10:

取二者的叠加态:

对于这样的叠加态就能利用量子算法同时处理十进制整数的10和5,结果即如同同时对10和5进行计算,最后通过测量分别获得10和5的计算结果。实现物理上的并行计算。

量子门

一些常用的量子门的矩阵表示:

Hadamard Gate作用于单比特量子

Hadamard Gate配合Controlled-NOT Gate可以将输入的双量子比特转换为贝尔态,任何一组二粒子状态都可以表示为这四组新的基态的线性叠加, 即:

实现过程参考Bell State 贝尔态基本原理

常用的单比特逻辑门的输入与输出:

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